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    如图，在平面直角坐标系中，直线y=
    1
    2
    x+1与抛物线y=x2+bx+c将于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方抛物线上一点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，连接PB、PA．
    （1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式；
    （2）设点P的横坐标为m：
    ①用含有m的式子表示线段PC的长，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标；
    ②若线段BC=DC，求m的值．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）在y=
    1
    2
    x+1中，当y=0时，x=-2；当y=3时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出c与b的值，即可确定出抛物线解析式；
    （2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
    ②若BC=DC，则△DCP面积与△BCP面积之比为1：1列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
    解答：解：（1）在y=
    1
    2
    x+1中，当y=0时，x=-2；当y=3时，x=4．
    则A（-2，0）、B（4，3），
    将A、B分别代入y=x2+bx+c中，得
    4-2b+c=0
    16+4b+c=3
    ，
    解得b=-
    3
    2
    ，c=-7
    ∴所求解析式为y=x2-
    3
    2
    x-7．

    （2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），
    ∴∠ACP=∠AEO，
    ∴PD=PCsin∠ACP=
    		5
    2
    PC．
    设P（m，m2-
    3
    2
    m-7），则C（m，
    1
    2
    m+1），
    ∴PC=（
    1
    2
    m+1）-（m2-
    3
    2
    m-7）=-m2+2m+8．
    ∴PD=
    		5
    2
    （-m2+2m+8）=-
    		5
    2
    （m-1）2+
    9
    		5
    2
    ．
    ∴PD的最大值为
    9
    		5
    2
    ，
    则P点坐标为（1，-
    15
    2
    ）．
    ②过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，

    ∵sin∠ACP=
    		5
    2
    ，
    ∴cos∠ACP=
    		5
    5
    ，
    在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=
    		5
    5
    ×（-m2+2m+8）=-
    		5
    5
    （m2-2m-8），
    又∵BG=4-m，BC=DC，
    ∴S△DCP=S△BCP
    即
    1
    2
    DF•CP=
    1
    2
    BG•CP
    ∴-
    		5
    5
    （m2-2m-8）=4-m
    解得：m=4或m=
    		5
    -2．
    故当m=4或m=
    		5
    -2时，线段BC=DC．
    点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积求法．
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    k
    x
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    （2）先化简，再求值：
    3
    x-1
    -
    x+2
    x2-x
    ，其中x=-
    1
    2
    ．

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