Question

已知二次函数y=ax²+（a²-3a-4）x-12a的图象关于y轴对称，并有最大值．
（1）求此二次函数的解析式，并画出图象．
（2）若此二次函数与x轴交于点A、B，△ABC为等边三角形（点C在x轴上方），求点C的坐标．
（3）在此二次函数图象上是否存在点P，使∠APB=60°？若有，请求出点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数的对称轴为y轴，
∴-=0，
解得，a=4或-1，
又∵二次函数有最大值，
∴a=-1，
∴二次函数解析式为，y=-x²+12，
函数图象如右图所示；

（2）令y=0，则-x²+12=0，
解得x=±2，
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
∵△ABC是等边三角形，且AO=BO，
∴点C一定在AB的中垂线上，即点C在y轴上，
所以，点C到AB的距离为，4×sin60°=4×=6，
∵点C在x轴上方，
∴点C的坐标为（0，6）；

（3）存在．理由如下：
如图，∵∠APB=60°，
∴作△ABC的外接圆，则圆心坐标为（0，2），
则圆的解析式为x²+（y-2）²=（6-2）²，
又∵点P在抛物线图象上，
∴12-y+（y-2）²=16，
整理得，y²-5y=0，
解得y₁=0（舍去），y₂=5，
此时，-x²+12=5，
解得x=±，
所以，点P的坐标为（，5）或（-，5），
根据对称性，当圆心在（0，-2）时，
则圆的解析式为x²+（y+2）²=（6-2）²，
又∵点P在抛物线图象上，
∴12-y+（y+2）²=16，
整理得，y²+3y=0，
解得y₁=0（舍去），y₂=-3，
此时，-x²+12=-3，
解得，x=±，
所以，点P的坐标为（，-3）或（-，-3），
综上所述，二次函数图象上存在点P（，5）或（-，5）或（，-3）或（-，-3）使∠APB=60°．
分析：（1）根据抛物线对称轴为y轴列式求解得到a的值，然后代入抛物线计算即可得解，然后画出图象即可；
（2）先求出AB的长度，再根据△ABC是等边三角形利用等边三角形的性质可得点C一定在AB的中垂线上，即点C在y轴上，然后根据等边三角形的性质求出AB边上的高，写出点C的坐标即可；
（3）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，作△ABC的外接圆，然后写出圆的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标，再根据对称性写出关于x轴对称的圆的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标，综合以上两种情况即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称性，等边三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）利用圆的解析式与抛物线的解析式联立求解是解题的关键．