Question

8．在平面直角坐标系中，将抛物线C₁：y=x²绕点（1，0）旋转180°后，得到抛物线C₂，定义抛物线C₁和C₂上位于-2≤x≤2范围内的部分为图象C₃．若一次函数y=kx+k-1（k＞0）的图象与图象C₃有两个交点，则k的范围是：-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15．

Answer 1

分析 如图，由题意图象C₂的解析式为y=-（x-2）²，图象C₃是图中两根红线之间的C₁、C₂上的部分图象，分五种情形讨论即可．

解答 解：如图，由题意图象C₂的解析式为y=-（x-2）²，图象C₃是图中两根红线之间的C₁、C₂上的部分图象．

由-2$≤\\;x≤2$x≤2，则A（2，4），B（-2，-16），D（2，0）．
因为一次函数y=kx+k-1（k＞0）的图象与图象C₃有两个交点
①当直线经过点A时，满足条件，4=2k+k-1，解得k=$\frac{5}{3}$，
②当直线与抛物线C₁切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+k-1}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-k+1=0，∵△=0，
∴k²+4k-4=0，解得k=$-2+2\sqrt{2}$或-2-2$\sqrt{2}$（舍弃），
观察图象可知当-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$时，直线与图象C₃有两个交点．
③当直线与抛物线C₂相切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-2）^{2}}\\{y=kx+k-1}\end{array}\right.$，消去y，得到x²-（4-k）x+3+k=0，∵△=0，
∴（4-k）²-4（3+k）=0，解得k=6-4$\sqrt{2}$或6+4$\sqrt{2}$（舍弃），
④当直线经过点D（2，0）时，0=2k+k-1，解得k=$\frac{1}{3}$，
观察图象可知，$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6时，直线与图象C₃有两个交点．
⑤当直线经过点B（-2，-16）时，-16=-2k+k-1，解得k=15，
观察图象可知，k≥15时，直线与图象C₃有两个交点．
综上所述，当-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15时，直线与图象C₃有两个交点．
故答案为-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15

点评 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、旋转变换、二元二次方程组、根的判别式等知识，解题的关键是求出函数C₂的解析式，搞清楚图象C₃，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．