Question

13．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0），B（0，3）代入抛物线y=-x²+bx+c即可解决问题．
（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．
（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{NQ}{QC}$求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-3，0），B（0，3），
∵抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴b=-2，c=3．
（2），对于抛物线y=-x²-2x+3，令y=0，则-x²-2x+3=0，解得x=-3或1，
∴点C坐标（1，0），
∵AD=DC=2，
∴点D坐标（-1，0），
∵BE=2ED，
∴点E坐标（-$\frac{2}{3}$，1），
设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线CE为y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{3}{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{5}}\\{y=\frac{51}{25}}\end{array}\right.$，
∴点M坐标（-$\frac{12}{5}$，$\frac{51}{25}$）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，
∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠QAR=∠GAP}\\{AR=AP}\end{array}\right.$，
∴△QAR≌△GAP，
∴QR=PG．
②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，
∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，
作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．
∵∠GAO=60°，AO=3，
∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，
∵∠QGA=60°，
∴∠QGO=90°，
∴点Q坐标（-6，3$\sqrt{3}$），
在RT△QCN中，QN=3$\sqrt{3}$，CN=7，∠QNC=90°，
∴QC=$\sqrt{Q{N}^{2}+N{C}^{2}}$=2$\sqrt{19}$，
∵sin∠ACM=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{NQ}{QC}$，
∴AM=$\frac{6\sqrt{57}}{19}$，
∵△APR是等边三角形，
∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP=$\frac{12\sqrt{19}}{19}$，PM=RM=$\frac{6\sqrt{19}}{19}$
∴MC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{14\sqrt{19}}{19}$，
∴PC=CM-PM=$\frac{8\sqrt{19}}{19}$，
∵$\frac{PK}{QN}$=$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{CK}{CN}$，
∴CK=$\frac{28}{19}$，PK=$\frac{12\sqrt{3}}{19}$，
∴OK=CK-CO=$\frac{9}{19}$，
∴点P坐标（-$\frac{9}{19}$，$\frac{12\sqrt{3}}{19}$）．
∴PA+PC+PG的最小值为2$\sqrt{19}$，此时点P的坐标（-$\frac{9}{19}$，$\frac{12\sqrt{3}}{19}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．