Question

12．在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，当点F为AD中点时，AB=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 证明△AEF∽△CEB，且相似比为1：2，得到EC=2AE，BE=2EF，即AC=3AE，BF=3EF，在三角形ABC和三角形ABF中，分别利用勾股定理得到AC²=AB²+BC²，BF²=AF²+AB²，将各自的值代入，两等式左右两边分别相加，得到9（AE²+FE²）=2x²+20，又在直角三角形ABE中，利用勾股定理得到AE²+FE²=AF²=2²=4，列出关于x的方程，求出方程的解即可．

解答 解：∵点F为AD中点，四边形ABCD是矩形，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=2，AD=BC=4，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{FE}{BE}$=$\frac{AF}{CB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，BF²=AF²+AB²，即（3AE）²=x²+4²，（3FE）²=2²+x²，
两式相加，得9（AE²+FE²）=2x²+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE²+FE²=AF²=4，
∴36=2x²+20，
解得：x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴x=2$\sqrt{2}$，即AB=2$\sqrt{2}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理；掌握矩形的性质和三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．