Question

4．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线CP作垂线，垂足分别为点M，N．
（1）补全图形，并求证：DM=CN；
（2）连接OM，ON，判断△OMN的形状并证明．
小明在解决问题（2）时遇到了困难，通过向其他同学请教，小明得到了以下建议：
建议一：观察现有图形，借助于所证关系线段所在三角形全等的证明来解决问题；
建议二：延长MO交BN于点G，借助构造全等三角形来解决问题；
如果你是小明，能够顺利的解决以上问题吗？

Answer 1

分析 （1）补全图形，只要证明△MCD≌△BCN即可；
（2）结论：△OMN为等腰直角三角形．只要证明△OMD≌△ONC，即可解决问题；

解答 解：（1）补全图形如图所示．
∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∵DM⊥CP，BN⊥CP，
∴∠DMC=∠BNC=90°，
∵∠DCM+∠BCN=90°，
∠NBC+∠BCN=90°，
∴∠DCM=∠NBC，
∴△MCD≌△BCN，
∴DM=CN．　　 
（2）结论：△OMN为等腰直角三角形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OD=OC，∠BCO=∠ODC=45°，
∴△MCD≌△BCN，
∴DM=CN，∠BCN=∠CDM，
∴∠OCN=∠ODM，
∴△OMD≌△ONC，
∴OM=ON，∠MOD=∠NOC
∴∠MON=∠DOC=90°，
∴△OMN为等腰直角三角形．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．