Question

我们知道：两个连续奇数的平均差一定是8的倍数，利用因式分解可以证明：（2n+1）²-（2n+1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n；类似的，我们可以猜想两个连续偶数的平方差有什么规律？请直接写出你的结论，并利用上述结论，并利用上述方法证明：25⁷-5¹²能被120整除．

Answer 1

分析：根据题意列出算式，再把两个连续偶数的平方差进行因式分解，即可得出答案．

解答：解：∵（2n）²-（2n+2）²=（2n+2n+2）（2n-2n-2）=-8n-4=4（-2n+1），
∴两个连续偶数的平均差一定是4的倍数，
∵25⁷-5¹²=5¹⁴-5¹²=5¹²（5²-1）=24×5¹²=120×5¹¹，
∴25⁷-5¹²能被120整除．

点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行因式分解，用到的知识点是平方差公式分解因式．