Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝90°，以AB为直径的⊙O交AD于点E，CD＝ED，连接BD交⊙O于点F．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若BD＝10，AB＝13，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：(1)连接BE，可证明Rt△BCD≌Rt△BED，结合条件可证明∠BDC＝∠ABD，可证得AB∥CD,最后看单词结果;(2)连接EF，根据圆周角定理得出∠AFB＝90°，在Rt△ABF中根据勾股定理得出BF＝5，然后由Rt△ABF∽Rt△BDC，ED＝ ，从而求出AE的长.

详解：（1）证明：连接BE．

∵ AB是直径，

∴∠AEB＝90°．

在Rt△BCD和Rt△BED 中

∴Rt△BCD≌Rt△BED．

∴∠ADB＝∠BDC．

又 AD＝AB，

∴∠ADB＝∠ABD．

∴∠BDC＝∠ABD．

∴AB∥CD．

∴∠ABC＋∠C＝180°．

∴∠ABC＝180°－∠C＝180°―90°＝90°．

即BC⊥AB．

又B在⊙O上，

∴BD与⊙O相切．

（2）解：连接AF．

∵AB是直径，

∴∠AFB＝90°，即AF⊥BD．

∵AD＝AB，BC＝10，

∴BF＝5．

在Rt△ABF和Rt△BDC中

∴Rt△ABF∽Rt△BDC．

∴＝．

∴＝．

∴DC＝．

∴ED＝．

∴AE＝AD―ED＝13―＝．