Question

如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x．

(Ⅰ)求证：AF=EC；

(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C.

   （1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 xb的值；

   （2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵AB=a，AD=b，BE=x ，S_梯形ABEF= S_梯形CDFE．

∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，

∴2AF=EC+(b-x)．

又∵EC＝b-x，

∴2AF=2EC，即AF=EC；

 (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），

∵EC∥E′B′，

∴=.

由EC＝b-x，E′B′=EB=x， DB′=DC+CB′=2a，

得，

∴xb= _；

当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），

在梯形AE′B′D中，

∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点，

∴CE=(AD+ E′B′)，

即b-x＝（b＋x），

∴xb=．

(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF．

证明：连接BF．

∵FD∥BE, FD=BE，

∴四边形FBED是平行四边形，

∴FB∥DE， FB=DE,

又∵EC∥E′B′， 点C是DB′的中点，

∴DE=EE′，

∴FB∥EE′, FB= EE′，

∴四边形BE′EF是平行四边形

∴BE′∥EF．

如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M， 则E′M=a.．

∵xb=，

∴EM=BC=b．

若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，

又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′， ∠MEE′+∠ME′E=90°，

∴∠GBE=∠ME′E.

在Rt△BME′中，tan∠E′BM= tan∠GBE==．

在Rt△EME′中，tan∠ME′E ==，

∴＝．

又∵a＞0，b＞0，

，