Question

【题目】如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，过两点分别作的垂线，垂足分别为，连接．

求证：（1）平分；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM=∠AMO，由OA=OM可得∠OAM=∠AMO，从而可得出结果；

（2）先求出∠MOP的度数，OB的长度，则用弧长公式可求出的长．

解：（1）连接OM，

∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，∴OM∥AC，

∴∠CAM=∠AMO，

∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，

∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB；

（2）∵∠APE=30°，

∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°，

∵AB=4，∴OB=2，

∴的长为．