Question

我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图1）．
探索下列问题：
（1）在如图2给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S₁和S₂．
①请你在如图3中相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在如图4中分别画出反映S₁与S₂三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图5）分割成面积相等的两部分？请简略说出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的中心对称性，所画直线都经过正方形的对称中心（即对角线的交点）即可；
（2）①根据过对称中心的直线把正六边形分成面积相等的两个部分，从左到依次填写即可；
②分直线在对称中心的左边，经过对称中心，在对称中心的右边三种情况画出图形并写出S₁与S₂的大小关系；
（3）在图形上取任意一点P作直线l，旋转直线l使其经过多边形的重心O即可把多边形分成面积相等的两个部分．
解答：解：（1）如图所示；


（2）①如图3所示；

②如图4所示；


（3）如图，在图形上取任意一点P作直线l，旋转直线l使其经过多边形的重心O，
直线l即为把平面图形分成面积相等的两个部分的直线．
理由为：过图形对称中心的直线把多边形分成面积相等的两个部分．
点评：本题考查了圆的综合题题型，读懂题目信息，理解并应用过平面图形重心（或对称中心）的直线把平面图形分成面积相等的两部分是解题的关键．