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(2013•金山区二模)如图,已知在等腰三角形△ABC中,AB=AC,BO是AC边上的中线,延长BO至D,使得DO=BO;延长BA至E,使AE=AB,联结CD、DE,在AE取一点P,联结DP,并延长DP、CA交于点G.求证:
(1)四边形ACDE是菱形;
(2)AE2=CG•EP.
分析:(1)连接AD,则可判断四边形ABCD是平行四边形,从而得出AB=CD=AE,判断出四边形AEDC为平行四边形,由AB=AC,可得CD=AC,继而判定四边形ACDE是菱形;
(2)证明△DEP∽△GCD,从而得出
DE
GC
=
EP
CD
,再由四边形ACDE是菱形,可得DE=CD=AE,代入比例式即可得出结论.
解答:解:(1)连接AD,

∵BD与AC互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB
.
CD,
又∵AE=AB,
∴四边形ACDE是平行四边形,
∵AB=AC,
∴AC=CD,
∴四边形ACDE是菱形;

(2)∵四边形ACDE是菱形,
∴DE=CD=AE,∠E=∠DCG,DE∥CG,
∴∠EDP=∠DGC,
∴△DEP∽△GCD,
DE
GC
=
EP
CD
,即
AE
CG
=
EP
AE

∴AE2=CG•EP.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与菱形的判定,解答本题的关键是等量代换,这是本题的突破口.
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