Question

8．如图，AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于点D．过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=$\frac{3}{2}$，则线段CD的长为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据相交弦定理求CF的长，利用BD∥CF，得$\frac{CF}{BD}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，求BD的长和CD与AD的比，所以设CD=x，则AD=4x，利用切割线定理列式求x的值，则就是CD的长．

解答 解：由相交弦定理得：AF•BF=EF•CF，
∵AF=3，FB=1，EF=$\frac{3}{2}$，
∴3×1=$\frac{3}{2}$CF，
∴CF=2，
∵BD∥CF，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{2}{BD}=\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{8}{3}$，
设CD=x，则AD=4x，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD²=CD•AD，
∴$（\frac{8}{3}）^{2}$=x•4x，
∴x=±$\frac{4}{3}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴CD=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相交弦定理和切割线定理，熟知定理的内容是做好本题的关键，同时与平行线分线段成比例定理相结合，得出线段的比，根据这个比的关系设未知数，得出结论．