Question

3．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．
①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：
②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=5，AF=$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠A=90°，即可得出结论；
（2）①延长DA，CE交于点G，证明△AGE≌△BCE，得出AG=BC，再证明CF=FG即可；
②由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，即可得出AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；设DF=x，根据勾股定理得出：CD²=CF²-DF²=CG²-DG²，列出方程5²-x²=8²-（5+x）²，解方程求出x，得出DG、AD，即可得出AF．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
（2）解：①延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ECB}&{\;}\\{∠GAE=∠B=90°}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
∵DF=1.6，F为AD中点，
∴BC=3.2，
∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵∠DFC=2∠BCE，
∴∠BCE=∠FCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠G，
∴CF=FG=4.8；
②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，
∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；
故答案为：5；
设DF=x，
根据勾股定理得：CD²=CF²-DF²=CG²-DG²，
即5²-x²=8²-（5+x）²，
解得：x=$\frac{7}{5}$，
∴DG=5+$\frac{7}{5}$=$\frac{32}{5}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{16}{5}$，
∴AF=AD-DF=$\frac{9}{5}$；
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．