Question

3．如图，有两条笔直的公路（BD和EF，其宽度不计）从一块矩形的土地ABCD中穿过，EF是BD的垂直平分线，有BD=400m，EF=300m，求这块矩形土地ABCD的面积是76800m²．

Answer 1

分析 连接BF，DE，由EF为BD的垂直平分线，得到DF=BF，OD=OB，再由矩形对边平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS得到三角形DOF与三角形BOE全等，利用全等三角形对应边相等得到OF=OE，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形DEBF为平行四边形，再利用邻边相等平行四边形为菱形得到DEBF为菱形，由勾股定理求出DF的长，根据菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，再由底与高之积等于菱形面积求出BC的长，在直角三角形BFC中，利用勾股定理求出FC的长，由DF+FC求出DC的长，根据DC与BC乘积求出矩形ABCD面积即可．

解答 解：连接BF，DE，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴DF=BF，OD=OB，
∵矩形ABCD，
∴DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DOF和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}\\{∠DFO=BEO}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形DEBF为菱形，
∴S菱形=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×400×300=60000m²，
在Rt△DOF中，DF=$\sqrt{20{0}^{2}+15{0}^{2}}$=250m，
∵S菱形=DF•BC=250•BC=60000m²，
∴BC=240m，
在Rt△BFC中，BF=DF=250m，BC=240m，
根据勾股定理得：FC=$\sqrt{25{0}^{2}-24{0}^{2}}$=70m，
∴CD=DF+FC=250+70=320（m），
则矩形ABCD面积为240×320=76800m²．
故答案为：76800m²

点评 此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．