Question

9．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠CAD=∠ACB=90°，∠ACD=30°，∠B=45°，则有下列结论：①AD：BC=AE：CE；②∠BEC=70°；③BC=$\sqrt{3}$AD；④CD：AB=2：$\sqrt{6}$，其中正确结论的序号是③④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 由AD∥BC知△ADE∽△BCE，即可判断①；由∠ACD=30°、∠B=∠BAC=45°，利用外角性质可判断②；设AD=x，根据直角三角形的性质和勾股定理分别表示出AC、BC、AB的长，即可判断③④．

解答 解：∵∠CAD=∠ACB=90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AE}{BE}$，故①错误；
∵∠ACD=30°，∠B=∠BAC=45°，
∴∠BEC=∠BAC+∠ACD=75°，故②错误；
设AD=x，则CD=2x，
∴BC=AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
即BC=$\sqrt{3}$AD，故③正确；
∵AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=$\sqrt{6}$x，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{2x}{\sqrt{6}x}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$，故④正确；
故答案为：③④．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．