已知A.直线y=x-2与x轴交于点F.与y轴交于点B.直线l∥AB且交y轴于点C.交x轴于点D.点A关于直线l的对称点为A′.连接AA′.A′D．直线l从AB出发.以每秒1个单位的速度沿y轴正方向向上平移.设移动时间为t．(1)求点A′的坐标,(2)求证:AB=AF,(3)过点C作直线AB的垂线交直线y=x-2于点E.以点C为圆心CE为半径作⊙C.求当t为何值时.⊙C与△AA′D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

已知A（2$\sqrt{3}$，0），直线y=（2-$\sqrt{3}$）x-2与x轴交于点F，与y轴交于点B，直线l∥AB且交y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A′，连接AA′、A′D．直线l从AB出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．
（1）求点A′的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求证：AB=AF；
（3）过点C作直线AB的垂线交直线y=（2-$\sqrt{3}$）x-2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？

分析（1）先确定B点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，利用点平移的坐标规律得到C（0，t-2），则直线l的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t-2，则可得到D（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，0），于是可计算出AD=$\sqrt{3}$t，再证明△A’DA为等边三角形，然后确定A’点坐标；
（2）先求出F点坐标，然后计算出AB和AF的长，从而得到AB=AF；
（3）如图2，先利用切线的判定方法得到当⊙C与AD（x轴）相切时，也一定与A’D相切．再证明CB=CE，从而得到⊙C的半径为2-t，然后讨论：当⊙C与AD相切，根据切线性质得2-t=t；当⊙C与AA’相切时，l与AA′相交于M，如图2，根据切线性质得t=$\frac{3}{2}$t-2（t-2），最后分别解方程求出t即可．

解答（1）解：当x=0时，y=（2-$\sqrt{3}$）x-2=-2，则B（0，-2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（2$\sqrt{3}$，0），B（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
∵OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵点B向上平移t个单位，
∴C（0，t-2），
∴直线l的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t-2，
当y=0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t-2=0，解得x=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，则D（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，0），
∴AD=$\sqrt{3}$t，
∵点A关于直线l的对称点为A’，且l∥AB，
∴DA’=DA，∠A’DA=2∠OAB=60°，
∴△A’DA为等边三角形，
作A′H⊥DA，如图1，
∴A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA=$\frac{3}{2}$t，DH=AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴A’（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}t}{2}$，$\frac{3t}{2}$）；
（2）证明：当y=0时，（2-$\sqrt{3}$）x-2=0，解得x=4+2$\sqrt{3}$，则F（4+2$\sqrt{3}$，0），
∵A（2$\sqrt{3}$，0），B（0，-2），
∴AF=4，AB=4，
∴AB=AF；
（3）解：如图2，
∵直线l是点A和A’的对称轴，
∴直线l是∠A’DA的平分线，
∴点C到直线AD和A’D的距离相等，
∴当⊙C与AD（x轴）相切时，也一定与A’D相切．
∵∠OAB=30°且AB=AF，
∴∠ABF=15°，
∵∠OBA=60°，
∴∠CBF=75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=30°，
∴∠CEB=180°-30°-75°=75°，
∴CB=CE，
∴⊙C的半径为2-t，
当⊙C与AD相切，CO=CB，即2-t=t，解得t=1；
当⊙C与AA’相切时，l与AA′相交于M，如图2，则CB=CM，t=$\frac{3}{2}$t-2（t-2），解得t=$\frac{8}{3}$，
综上所述，符合要求的t的值有两个，t=1或$\frac{8}{3}$．

点评本题考查了圆的综合题：熟练掌握两直线平行的性质、等边三角形的判定与性质和切线的判定与性质；会运用待定系数法求直线解析式，会求直线与坐标轴的交点坐标，理解坐标与图形性质．

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4．

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