Question

（1）如图所示，在网格坐标系中，顶点在格点上的矩形ABCD被分割成四块全等的小矩形①，②，③，④，并经过一次或二次变换拼成正方形A₁B₁C₁D₁．试写出小矩形从①?⑤、③?⑦一种变换过程；
（2）对任意一个矩形按（1）的方式实施分割、变换后拼成正方形．试探究矩形ABCD的周长与面积分别与正方形A₁B₁C₁D₁的周长与面积的大小关系，并用代数方法验证你的结论．

Answer 1

解：（1）矩形⑤是可由矩形①向右平移10个单位得到，
矩形⑦是可由矩形③先绕矩形的右下角定点顺时针转90°后再向右平移2个单位而得到；

（2）周长相等，正方形的面积大于或等于矩形面积；
验证如下：
设小矩形的边长为a、b，则原矩形的面积为4ab，正方形的边长为a+b，正方形的面积为（a+b）²，周长均为4（a+b），
由于（a+b）²-4ab=（a-b）²≥0，
所以（a+b）²≥4ab，
即正方形的面积≥矩形的面积，当a=b时两面积相等．
分析：（1）从①?⑤只是进行了平移，③?⑦既向右平移，还进行了旋转；
（2）设出小矩形的边长，分别表示出两个图形中的周长和面积．
点评：平移应说明平移方向和距离，旋转应说明旋转点，旋转角及旋转方向．比较通常采用求差法．