Question

如图，△ABC是等边三角形，⊙O与BC相切于点C，交CA的延长线于点D，交△ABC的外接圆于点K，直线AK交⊙O于点E，交CB的延长线于点F．
（1）求∠EDC的度数；
（2）如果A是EF的中点，请判断K是否是的中点，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）连接KC；
∵∠AKC=∠ABC，∠AKC=∠EDC，
∴∠ABC=∠EDC；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠EDC=60°．

（2）连接CE，
∵FC切⊙O于C，
∴∠ACF=∠DEC；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACF=∠BAC=60°，AB=BC，
∴∠DEC=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BAC，
∴AB∥CE；
∵FA=AE，
∴FB=BC．
∴AB=FB，
∴∠F=∠FAB=∠ABC=30°；
∵∠ACB=60°，
∴∠ACK=∠BCK=30°，
∴K是的中点．
分析：（1）此题要通过构造相等的圆周角来求解；连接KC，在小圆中，由圆周角定理知∠AKC=∠ABC=60°，在⊙O中，∠AKC=∠EDC=60°，由此得解．
（2）若K是弧AB的中点，需要证得∠ACK=∠BCK=30°，连接CE；由于FC切⊙O于C，则∠FCD=∠CED=60°，那么△CDE也是等边三角形，那么∠DCE=∠BAC=60°，根据内错角相等两直线平行，可证得AB∥CE，而A是EF的中点，则B是FC的中点，即FB=BC=AB，由此可得∠F=∠BAF=∠ABC=30°，那么∠BCD=∠BAF=30°，即可得解．
点评：考查了等边三角形的性质，切线的性质等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．