Question

探索发现：
（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为

 

．
联系拓展：
（2）在图2中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC的中点，若?ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．
（3）在图3中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC上的点，且AE=

1

3

AB，BF=

1

3

BC，若?ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为

 

．
解决问题：
（4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的

1

2

，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）从阴影部分底边是三角形ABC第边的一半而解得；
（2）连接BD，从阴影部分占所在三角形面积多少算起而得；
（3）连接BD，同理（2）而解得；
（4）连接BD，由题意列式子从而得．

解答：解：（1）∵AD为三角形ABC的底边中线，
∴DC为BC的一半，
由图可知△ABC与△ADC同高，
又知△ABC面积为S，
∴三角形ADC面积为

1

2

S，
故填

1

2

S；

（2）连接BD，
∵E，F分别为边AB，BC的中点，
∴同理（1）可知△BED面积为△ABD面积的一半，△BDF面积为△BDC面积的一半，
又∵?ABCD面积为S，
∴四边形BEDF面积为

1

2

S；

（3）连接BD，
∵AE=

1

3

AB，BF=

1

3

BC，
∴计算同理于（2），
∵?ABCD的面积为S，
∴四边形BEDF为

1

2

S．
故填

1

2

S；

（4）连接BD，
由题意四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的一半，
即AB•BC=2（

1

2

BE•AD+

1

2

BF•AB），
∵AB=nBC，
∴AB•BC=2（

1

2

BE•

1

n

AB+

1

2

BF•AB）=BE•

1

n

AB+BF•AB，
∴BC=BE•

1

n

+BF，
∴

1

n

AB=

1

n

EB+BF，
∴AE=nBF．

点评：本题考查三角形面积，以及把平行四边形面积转化为三角形面积来求，从而解得．