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    （2011•南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
    （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
    （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
    （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，-3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
    （2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
    当t=-
    3
    2×(-1)
    =
    3
    2
    时，PM最长为
    0-9
    4×(-1)
    =
    9
    4
    ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
    （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
    9
    4
    ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
    解答：解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x2+mx+n，得
    0=9+3m+n
    -3=n

    解得
    m=-2
    n=-3
    ，
    所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3．
    设直线AB的解析式是y=kx+b，
    把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
    0=3k+b
    -3=b
    ，
    解得
    k=1
    b=-3
    ，
    所以直线AB的解析式是y=x-3；

    （2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
    因为p在第四象限，
    所以PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，
    当t=-
    3
    2×(-1)
    =
    3
    2
    时，二次函数的最大值，即PM最长值为
    0-9
    4×(-1)
    =
    9
    4
    ，
    则S△ABM=S△BPM+S△APM=
    1
    2
    ×
    9
    4
    ×3    =
    27
    8
    ．

    （3）存在，理由如下：
    ∵PM∥OB，
    ∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
    ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
    9
    4
    ，所以不可能有PM=3．
    ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，解得t1=
    3+
    		21
    2
    ，t2=
    3-
    		21
    2
    （舍去），所以P点的横坐标是
    3+
    		21
    2
    ；
    ③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，解得t1=
    3+
    		21
    2
    （舍去），t2=
    3-
    		21
    2
    ，所以P点的横坐标是
    3-
    		21
    2
    ．
    所以P点的横坐标是
    3+
    		21
    2
    或
    3-
    		21
    2
    ．
    点评：本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．
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    （1）点A的坐标为
    （2，8）
    （2，8）
    ，点C的坐标为
    （6，6）
    （6，6）
    ．
    （2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为
    （a-7，b）
    （a-7，b）
    ．
    （3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：
    （1，4）或（-1，-4）
    （1，4）或（-1，-4）
    ．

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