Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴

AC

折叠后与AB相交于点D，如果AD=3DB，那么AC的长为（　　）

• A、2

  14

• B、2

  7

• C、4

  2

• D、6

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,角平分线的性质,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：据折叠的性质可得

AC

=

ADC

，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ACD+∠CAD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠ACD+∠CAD，从而得到∠ABC=∠BDC，根据等角对等边可得BC=CD，过点C作CE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=DE=

1

2

BD，然后利用△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，

∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，
∴

AC

=

ADC

，
∴∠ABC=∠ACD+∠CAD，
在△BCD中，∠BDC=∠ACD+∠CAD，
∴∠ABC=∠BDC，
∴BC=CD，
过点C作CE⊥BD于E，
则BE=DE=

1

2

BD，
∵AD=3DB，AD+BD=8，
∴BD=2，AD=6，
∴AE=AD+DE=6+1=7，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠CAD=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE=

AE•BE

=

7

，
在Rt△ACE中，AC=

AE2+CE2

=2

14

．
故选：A．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．