Question

正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE；
（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时．线段 AF，BF与OE具有什么数量关系？并说明理由．
（3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
（2）图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
（3）图3，作OG⊥BF于G，可得四边形EFGO是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=GO，GF=EO，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠BOG，然后利用“角角边”证明△AOE和△BOG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OE，AE=BG，再根据BF-BG=GF，整理即可得证．

解答：（1）证明：如图1，过点B作BG⊥OE于G，
则四边形BGEF是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，

∠AOE=∠OBG  ∠AEO=∠OGB=90°  OA=OB

，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF，
∴AF-OE=OE-BF，
∴AF+BF=2OE；
（2）图2，结论：AF-BF=2OE，
证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，
则四边形GFEB是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，

∠AOE=∠OBG  ∠AEO=∠OGB=90°  OA=OB

，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，
∴AF-OE=OE+BF，
∴AF-BF=2OE；
（3）图3，结论：BF-AF=2OE．
理由：作OG⊥BF于G，
则四边形EFGO是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，
∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG．
∵OG⊥BF，OE⊥AE，
∴∠AEO=∠BGO=90°．
在△AOE和△BOG中，

∠AOE=∠BOG ∠AEO=∠BGO OA=OB

，
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴OE=OG，AE=BG，
∵AE-EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，
∴BF-AF=BG+GF-（AE-EF）=AE+OE-AE+EF=OE+OE=2OE，
∴BF-AF=2OE．

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．