Question

如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB=8，AB=4．
（1）求AC所在直线的函数关系式；
（2）求点E的坐标和△ACE的面积；
（3）求点D的坐标，并判断点（8，-4）是否在直线OD上，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知求得A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求解；
（2）首先证明△ACE是等腰三角形，在直角△OCE中利用勾股定理即可求得OE的长，求得E的坐标，进而求得△ACE的面积；
（3）作DF⊥x轴于点F，根据△ADE的面积求得D的纵坐标，然后在直角△ADF中，利用勾股定理求得AF的长，从而求得OF，即可得到D的坐标，然后利用待定系数法求得直线CD的解析式，然后把点（4，-2）代入判断即可；

解答：解：（1）∵OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，CB=8，AB=4．
∴A（8，0），C（0，4）
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴

8k+b=0 b=4

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
∴AC所在直线的函数关系式为y=-

1

2

x+4；
（2）∵矩形OABC中，BC∥OA，
∴∠BCA=∠CAO，
又∵∠BCA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CE=AE，
设CE=AE=x，则OE=8-x，在直角△OCE中，OC²+OE²=CE²，则4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
则OE=8-5=3，则E的坐标是（3，0）．
则S_△ACE=

1

2

×5×4=10；
（3）如图，作DF⊥x轴于点F．
S_△ACD=S_△ABC=

1

2

×8×4=16，
则S_△ADE=16-10=6，
又∵S_△ADE=

1

2

AE•DF，则

1

2

×5•DF=6，
∴DF=

12

5

，
在直角△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
则OF=8-

16

5

=

24

5

，
则D的坐标是（

24

5

，-

12

5

），
设直线OD的解析式是y=mx，则

24

5

m=-

12

5

，解得：m=-

1

2

，
则直线OD的解析式是：y=-

1

2

x，
当x=8时，y=-4，则（8，-4）在直线OD上；

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及图形的折叠的性质和勾股定理的应用，熟练掌握性质和定理是关键．