Question

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4． P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F．
（1）设AP=1，求△OEF的面积；
（2）设AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S₁、S₂．
①若S₁=S₂，求a的值；
②若S=S₁+S₂，是否存在一个实数a，使S＜

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3

？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）易知△AOC、△OEF、△AFP均为等腰直角三角形，因此只需求出OF的长就可得出△OEF的面积，在直角三角形AFP中，根据AP=1，可求得AF=

2

，已知了AB、AC的长可求出OA的长，进而可得出OF的长．也就能求出△OEF的面积．
（2）①同（1）可用a表示出△OEF的面积，S₂=

1

2

a²，然后根据S₁=S₂，可得出关于a的方程，即可求出a的值．
②根据①即可得出关于S，a的函数关系式，然后根据函数的性质即可判断出是否存在使S＜

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3

的值．

解答：解：（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°，OA⊥BC，
∴∠1=∠B=45°，
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°，
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形．
∵AP=l，AB=4，
∴AF=

2

，OA=2

2

，
∴OE=OF=

2

，
∴△OEF的面积为

1

2

•OE•OF=1．

（2）①∵FP=AP=a，
∴S₁=

1

2

a²
且AF=

2

a，
∴OE=OF=2

2

-

2

a=

2

（2-a），
∴S2=

1

2

•OE•OF=（2-a）²
∵S₁=S₂
∴

1

2

a2=（2-a）²
∴a=4±2

2

∵0＜a＜2
∴a=4-2

2

．
②S=S₁+S₂=

1

2

a²+（2-a）²=

3

2

a²-4a+4=

3

2

（a-

4

3

）²+

4

3

，
∴当a=

4

3

时，S取得最小值为

4

3

，
∵

15

3

＜

4

3

，
∴不存在这样实数a，使S＜

15

3

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法及二次函数的应用，综合性强．