Question

【题目】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．

（1）若b＝1，a＝﹣c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；

（2）若a0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y1，求4a+b2的取值范围；

（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ；（3）

【解析】

（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；

（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；

（3）将（0，y1）和（1，y2）分别代入函数解析式，由y1y2＞0，及2a+3b+6c＝0，得不等式组，变形即可得出答案．

解：（1）证明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0），

∴令y＝0得：ax2+bx+c＝0

∵b＝1，a＝﹣c，

∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4（﹣c）c＝1+2c2，

∵2c2≥0，

∴1+2c2＞0，即△＞0，

∴二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；

（2）∵a＜0，c＝0，

∴抛物线的解析式为y＝ax2+bx，其图象开口向下，

又∵对于任意的实数x，都有y≤1，

∴顶点纵坐标，

∴﹣b2≥4a，

∴4a+b2≤0；

（3）由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b），

∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1y2＞0，

∴c（a+b+c）＞0，

∴6c（6a+6b+6c）＞0，

∴将6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0，

∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，

∵a≠0，则9a2＞0，

∴两边同除以9a2得，

，

∴或，

∴，

∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是：．