Question

19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于A（0，4），与x轴交于点B．
（1）当△AOB的面积等于18时，求直线AB的解析式；
（2）以AB为边在第一象限作正方形ABCD，当B在x轴正半轴运动时，是否存在点P，使AP+CP最小？若存在求P点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△AOB的面积可求得OB的长，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）可设B（t，0），过C作CE⊥x轴于点E，可证得△AOB≌△BEC，可用t表示出C点坐标，设点A关于x轴的对称点为A′（0，-4），连接A′C交x轴于点P，此时AP+PC=A′P+CP=A′C最小，由A′、C的坐标可求得直线A′C的解析式，则可求得点P的坐标．

解答 解：
（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=2OB=18，解得OB=9，
∴B（9，0）或（-9，0），
设直线AB解析式为y=kx+4，
当B（9，0）时，代入可得0=9k+4，解得k=-$\frac{4}{9}$，此时直线AB解析式为y=-$\frac{4}{9}$x+4，
当B（-9，0）时，代入可得0=-9k+4，解得k=$\frac{4}{9}$，此时直线AB解析式为y=$\frac{4}{9}$x+4，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{9}$x+4或y=$\frac{4}{9}$x+4；
（2）如图，过C作CE⊥x轴于点E，

设B（t，0）（t＞0），则OB=t，且OA=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ABO=∠BCE，
在△AOB和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BEC}\\{∠ABO=∠BCE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=AO=4，CE=OB=t，
∴C（t+4，t），
设A点关于x轴的对称点为A′，则A′点坐标为（0，-4），连接A′C交x轴于点P，此时AP=A′P，
∴AP+CP=A′P+CP=A′C，
∵A′、P、C三点在一条直线上，
∴AP+CP最小，
可设直线CP的解析式为y=k′x-4，
把C点坐标代入可得t=k′（t+4）-4，解得k′=1，
∴直线CP解析式为y=x-4，令y=0可得x=4，
∴P（4，0），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质及方程思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置，求得直线CP的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．