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(2011•鞍山一模)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-
3
3
x+
3
交x轴于A点,交y轴于B点,点C是线段AB的中点,连接OC,然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D,则△ODC的面积为
3
4
3
4
分析:通过直线的解析式可以求出A、B的坐标,从而求出OA、OB的长度,再利用勾股定理求出AB的长度,利用三角函数值还可以求出∠BAO=30°,通过直角三角形的性质可以求得△BOC为等边三角形,在△ADC中作出AD边上的高,用解直角三角形的方法求出其高及AD的长度就可以求出OD的长度,从而求出面积.
解答:解:作CE⊥AD于点E,
∴∠AEC=90°.
y=-
3
3
x+
3

∴x=0时,y=
3
,即OB=
3

y=0时,x=3,即OA=3,
在Rt△ABO中,由勾股定理得:
AB=2
3

∴sin∠OAB=
OB
AB
=
1
2

∴∠OAB=30°,∠OBA=60°,OB=
1
2
AB
∵点C是线段AB的中点,
∴OC=BC=AC=
1
2
AB=
3

∴OC=OB=BC=
3
,∠COA=∠CAO=30°
∴△BOC为等边三角形,∠OCA=120°
∵∠OCD=30°,
∴∠ACD=90°
∴在Rt△ACD中由勾股定理得:
CD=1,AD=2,
∴OD=1,
在Rt△ACE中由勾股定理得:
CE=
3
2

∴S△OCD=
3
2
2
=
3
4


故答案为:
3
4
点评:本题是一道一次函数的综合试题,考查了一次函数的图象,直角三角形斜边上中线的运用,旋转的性质,勾股定理的运用,三角形的面积公式.
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问:①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积;若不存在,请说明理由;
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2x-6
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4
3
3
4
3
3
cm.

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(1)当a=
3
-1,b=
3
+1时,求a2+b2+2ab的值;
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