Question

（2013•常州模拟）如图，已知点O为Rt△ABC斜边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
（1）说明：AE平分∠CAB；
（2）探究图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时tan∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，推出OE∥AB，推出∠1=∠OEA=∠BAE，即可得出答案；
（2）求出∠C+∠EOC=90°和∠EOC=2∠1，即可得出答案．

解答：解：（1）连接OE，
∵⊙O与BC相切于E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠1=∠OEA，
∴∠1=∠BAE，
即AE平分∠CAB．

（2）2∠1+∠C=90°，
理由是：∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠EOC=∠1+∠OEA，
∵∠1=∠OEA，
∴∠EOC=2∠1，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠EOC+∠C=90°，
∴2∠1+∠C=90°．
∵AE=EC，
∴∠1=∠C，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴tanC=tan30°=

3

3

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，平行线性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．