Question

如图，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限，OA与x轴的夹角为30°．求A、B、C的坐标．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：

分析：过点A作AD⊥x轴于D，利用∠AOD的余弦和正弦求出OD、AD，即可得到点A的坐标，过点C作CE⊥x轴于E，利用∠COE的余弦和正弦求出OE、CE，即可得到点C的坐标，设BC与y轴相交于点F，利用∠COF的正弦和余弦分别求出CF、OF，过点B作BG⊥y轴于G，然后利用∠BFG的正弦和余弦求出GF、BG，再求出OG，然后写出点B的坐标即可．

解答：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，
∵OA与x轴的夹角为30°，
∴∠AOD=30°，
∴OD=AO•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，
AD=AO•sin30°=1×

1

2

=

1

2

，
∴点A的坐标为（

3

2

，

1

2

），
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠COE=180°-90°-30°=60°，
∴OE=CO•cos60°=1×

1

2

=

1

2

，
CE=CO•sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
∴点C的坐标为（-

1

2

，

3

2

）；
设BC与y轴相交于点F，则∠COF=90°-∠COE=90°-60°=30°，
∴CF=CO÷cos30°=1÷

3

2

=

2 3

3

，
OF=CO•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
过点B作BG⊥y轴于G，则∠BFG=∠OFC=90°-30°=60°，
BF=1-

3

3

，
∴GF=BF•cos60°=（1-

3

3

）×

1

2

=

1

2

-

3

6

，
BG=BF•sin60°=（1-

3

3

）×

3

2

=

3 -1

2

，
∴OG=GF+OF=

1

2

-

3

6

+

2 3

3

=

3 +1

2

，
∴点B的坐标为（

3 -1

2

，

3 +1

2

）．
综上所述，点A（

3

2

，

1

2

），B（

3 -1

2

，

3 +1

2

），C（-

1

2

，

3

2

）．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，主要利用了利用锐角三角函数解直角三角形，作辅助线构造成直角三角形是解题的关键．