Question

16．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC交于点E，且DE∥BC，连接OD，与BC相交于点F
（1）求证：△ADE∽△FBD；
（2）已知⊙O的半径为2$\sqrt{3}$，AE=2$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质结合已知条件可证明DE∥BC，则容易证明△ADE∽△FBD；
（2）延长AC交⊙O于G，连接DG、OG，可证明D、O、G三点在一条直线上，可求得DG，设BC为x，则由三角形相似可分别表示出DE和EG，在Rt△DGE中可得到关于x的方程，可求得BC的长．

解答 （1）证明：
∵⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C=90°，
∴△ADE∽△FBD；
（2）解：
如图所示，延长AC交⊙O于G，连接DG、OG，

由（1）知∠DEG=90°，
∴DG是⊙O的直径，
∴D、O、G三点在同一直线上，
∴DG=4$\sqrt{3}$，
设BC=x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{DE}{x}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，解得DE=$\frac{2}{3}$x，
∵GD为直径，
∴∠AED=∠GED=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠A+∠ADE=∠ADE+∠EDG=90°，
∴∠A=∠EDG，
∴△ADE∽△GDE，
∴$\frac{EG}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，即$\frac{EG}{\frac{2}{3}x}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{2\sqrt{2}}$，解得EG=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x²，
在Rt△DGE中，由勾股定理可得DG²=EG²+DE²，即（$\frac{\sqrt{2}}{9}$x²）²+（$\frac{2}{3}$x）²=（4$\sqrt{3}$）²，
整理x⁴+18x²+1944=0，即（x²+54）（x²-36）=0，
∵x²+54＞0，
∴x²-36=0，解得x=6或x=-6（舍去），
∴BC=6．

点评 本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键，注意方程思想的应用．