Question

在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E是AD的中点，点O是AB边上一点，且AO=AE，过点E作直线HF交DC于点H，交BA的延长线于F，以OE所在直线为对称轴，△FEO经轴对称变换后得到△F′EO，直线EF′交直线DC于点M．
（1）求证：AD∥OF′；
（2）若M点在点H右侧，OA=4，求DH•DM的值．

Answer 1

（1）证明：如图，∵AO=AE，
∴∠1=∠2．
又∵以OE所在直线为对称轴，△FEO经轴对称变换后得到△F′EO，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OF′；

（2）解：如图，∵点E是AD的中点，AO=AE，OA=4，
∴DE=AE=OA=4．
∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴∠5=∠F．
∵由（1）知，AD∥OF′，
∴∠DEM=∠4．
又∵∠4=∠F，
∴∠5=∠DEM，
又∵∠EDH=∠MDE，
∴△EDH∽△MDE，
∴=，即DH•DM=DE²=4²=16．
∴DH•DM的值是16．
分析：（1）根据等腰△AEO的性质得到：∠1=∠2；由对称变换得到∠2=∠3，则内错角∠1=∠3．故AD∥OF′；
（2）根据“两角法”证得△EDH∽△MDE，则该相似三角形的对应边成比例，即=，所以DH•DM=DE²=4²=16．
点评：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及轴对称的性质．此题难度较大，在证明三角形相似时，一定要找准对应角和对应边．