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如图,已知△OAB的顶点A(﹣6,0),B(0,2),O是坐标原点,将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.

(1)写出C,D两点的坐标;

(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式,并求此抛物线顶点E的坐标;

(3)证明AB⊥BE

(1)C(2,0),D(0,6);

(2)y=-x2﹣2x+6;顶点E的坐标为(﹣2,8).

(3)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)由旋转的性质可得OC=OB,OD=OA,由已知条件即可得点C、D的坐标;

(2)由于抛物线过点A(﹣6,0),C(2,0),所以设抛物线的解析式为y=a(x+6)(x﹣2)(a≠0),再将D(0,6)代入,求出a的值,得出抛物线的解析式,然后利用配方法求出顶点E的坐标;

(3)已知A、B、E三点的坐标,运用勾股定理计算得出AB2=40,BE2=40,AE2=80,则AB2+BE2=AE2,根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE.

试题解析:(1)∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC,∴△ODC≌△OAB.

∴OC=OB=2,OD=OA=6.∴C(2,0),D(0,6).

(2)∵抛物线过点A(﹣6,0),C(2,0),

∴可设抛物线的解析式为y=a(x+6)(x﹣2)(a≠0),

∵D(0,6)在抛物线上,∴6=﹣12a,解得a=-.

∴抛物线的解析式为y=-(x+6)(x﹣2),即y=-x2﹣2x+6.

∵y=-x2﹣2x+6=-(x+2)2+8,∴顶点E的坐标为(﹣2,8).

(3)连接AE,

∵A(﹣6,0),B(0,2),E(﹣2,8),

∴AB2=62+22=40,

BE2=(﹣2﹣0)2+(8﹣2)2=40,

AE2=(﹣2+6)2+(8﹣0)2=80.

∴AB2+BE2=AE2.

∴△ABE是直角三角形.

∴AB⊥BE.

考点:1、旋转的性质;2、待定系数法求函数解析式;3、勾股定理的逆定理.

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x

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3.24

3.25

3.26

ax2+bx+c

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﹣0.02

0.03

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