分析 （1）分别计算两三角形各角的度数，并计算其平方和可以作判断；
（2）由勾股三角形的定义且x＜y＜z得：z2=x2+y2，变形后得：（180-17m）2=289m2-720m，求出m的值，并计算最大角z的值即可；
（3）先说明△ADC为勾股三角形不成立；则当△ACB一定是勾股三角形，作辅助线，构建直角三角形，确定∠ACB为最大角，设∠ABC=x°，∠CAB=y°，则∠ACB=30+x，根据勾股三角形的定义和三角形内角和列方程组：则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=（30+x）^{2}}\\{2x+y+30=180}\end{array}\right.$，解出，确定△BEC和△ADC为等腰直角三角形，设AE=a，则AC=2a，CE=$\sqrt{3}$a，分别表示AC、AB和BD的长，找关系即可．
解答 解：（1）∵∠CAB：∠CAD：∠D=1：3：6，
∴∠CAD=3∠CAB，∠D=6∠CAB，
∴∠BAD=4∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠D=180°，∠CAB=∠ACD，
∴4∠CAB+6∠CAB=180°，
∴∠CAB=18°，
∴∠CAD=54°，∠ACD=18°，∠D=108°，
∵182+542≠1082，
∴△ACD不是勾股三角形；
∵∠B=80°，
∴∠ACB=180°-18°-80°=82°，
∵182+802=822，
∴△ABC是勾股三角形；
（2）由题意得：z2=x2+y2，
∵x+y=17m，xy=360m，
∴z2=（x+y）2-2xy=289m2-720m，
∵x+y+z=180°，
∴（180-17m）2=289m2-720m，
解得：m=6，
∴z=180-17m=78°，
∴该三角形最大内角的度数为78°；
（3）猜想：以AB、AC、BD为三边围成的三角形直角三角形，
理由是：如图2，分两种情况：
①当△ADC为勾股三角形时，设∠DAC=x°，∠ACD=y°，
∵∠ADC=90°，
∴x2+y2=902①，
∵x+y=90，
∴（x+y）2=902，
即x2+2xy+y2=902②，
把①代入②得：2xy=0，
∵x≠0，y≠0，
∴2xy≠0，
∴△ADC为勾股三角形不成立；
②当△ACB是勾股三角形时，在AB上取一点E，连接CE，使CE=BE，则∠ABC=∠BCE，
∵∠ABC＞40°，∠ACB-∠ABC=30°，
∴∠ABC＞70°，
∴∠CAB＜70°，
∴∠ACB为最大角，
设∠ABC=x°，∠CAB=y°，则∠ACB=30+x，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=（30+x）^{2}}\\{2x+y+30=180}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=150-2x①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（30+x）^{2}②}\end{array}\right.$，
把①代入②得：（150-2x）2=900+60x，
x2-165x+5400=0，
（x-120）（x-45）=0，
x1=120°，x2=45°，
当x=120时，y=150-2×120=-90＜0，不符合题意，舍去，
∴∠ABC=∠BCE=45°，
∠CAB=y=150-2x=60°，
设AE=a，则AC=2a，CE=$\sqrt{3}$a，
∴BE=$\sqrt{3}$a，BC=$\sqrt{6}$a，
∵BC=$\sqrt{3}$AD，
∴$\sqrt{6}$a=$\sqrt{3}$AD，
∴AD=$\sqrt{2}$a，
在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{（2a）^{2}-（\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，
过B作BF⊥DC，交DC的延长线于F，
∴∠BCF=180°-45°-30°-45°=60°，
∴∠CBF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
Rt△DFB中，BD2=DF2+BF2=（$\sqrt{2}$a+$\frac{\sqrt{6}}{2}$a）2+（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）2=8a2+2$\sqrt{3}$a2，
∵AB2+AC2=（a+$\sqrt{3}$a）2+（2a）2=8a2+2$\sqrt{3}$a2，
∴AB2+AC2=BD2，
∴以AB、AC、BD为三边围成的三角形直角三角形．
点评 此题主要考查了新定义以及多元方程组解法以及勾股定理和锐角三角函数关系，第3问有难度，利用勾股定理得出AB、AC、BD的长是解题关键．
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