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    已知：如图，在直角坐标系xoy中，以x轴的负半轴上一点H为圆心作⊙O与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点．以C为圆心、OC为半径作⊙C与⊙H交于F、F两点，与y轴交于O、Q两点．直线EF与AC、BC、y轴分别于M、N、G三点．直线数学公式经过A、C两点．
    （1）求tan∠CNM的值；
    （2）连接OM、ON，问：四边形CMON是怎样的四边形？请说明理由．
    （3）如图，R是⊙C中弧EQ上的一动点（不与E点重合），过R作⊙C的切线RT，若RT与⊙H相交于S、T不同两点．问：CS•CT的值是否发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

    解：（1）连接CH，
    则CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．
    而∠HCB=∠CBA，即∠CNM+∠CBA=90°．
    又∵∠CAB+∠CBA=90°，
    ∴∠CNM=∠CAB．
    由y=x+3过A、C，则OC=3，AO=4，
    即tan∠CNM=tan∠CAB=；

    （2）由GD•GC=GE•GF，GO•GQ=GE•GF，得GO•GQ=GD•GC，
    即GO（GC+CQ）=（GO+OD）•GC，则GO=GC．
    又∠CMG=∠CBA=∠ACO，
    即GC=GM，则GO=GC=GM=GN，
    故四边形OMCN是矩形；

    （3）连接CR，过C作⊙H的直径CL，连接SL．
    易证△CLS∽△CTR，即=，
    则CS•CT=CL•CR=AB•OC=（4+）×3=．
    故CS•CT的值不变为．
    分析：（1）连接CH，则CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．再根据题意得出∠CNM=∠CAB．由y=x+3过A、C，从而得出tan∠CNM的值．
    （2）由GD•GC=GE•GF，GO•GQ=GE•GF，得GO•GQ=GD•GC，则GO=GC．还可证得GC=GM，则GO=GC=GM=GN，从而得出四边形OMCN是矩形．
    （3）连接CR，过C作⊙H的直径CL，连接SL．易证△CLS∽△CTR，即=，从而得出CS•CT的值不变，是定值．
    点评：本题是一道综合题，考查了相交两圆的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，是中考压轴题，难度较大．注：（1）利用了等角代换来求三角函数的值，这是在圆中常碰到的事．
    （2）充分运用几何图形的性质模索出MN与OC相等且互相平分，从而正确地判断图形．
    （3）通过相似三角形，硬性求出CS•CT的值，这是处理这类问题的又一方法．
    练习册系列答案
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    如图（1）已知，矩形ABDC的边AC=3，对角线长为5，将矩形ABDC置于直角坐系内，点D与原点O重合．且反比例函数y=
    k
    x
    的图象的一个分支位于第一象限．
    （1）求点A的坐标；
    （2）若矩形ABDC从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数y=
    k
    x
    的图象的图象上，求k的值；
    （3）矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AC与反比例函数图象分别交于P、Q如图（2），设移动的总时间为t（1＜t＜5），分别写出△BPD的面积S1、△DCQ的面积S2与t的函数关系式；
    （4）在（3）的情况下，当t为何值时，S2=
    10
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    S1？

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    （2）若矩形ABDC从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数y=的图象的图象上，求k的值；
    （3）矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AC与反比例函数图象分别交于P、Q如图（2），设移动的总时间为t（1＜t＜5），分别写出△BPD的面积S1、△DCQ的面积S2与t的函数关系式；
    （4）在（3）的情况下，当t为何值时，S2=S1？

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    科目：初中数学 来源：2012年初中毕业升学考试（四川巴中卷）数学（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，

    与x轴交于点B，与反比例函数的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐

    标为2，

    （1）求一次函数和反比例函数的解析式；

    （2）直接写出时x的取值范围。

     

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    科目：初中数学 来源：2013届安徽滁州八年级下期末模拟数学试卷（沪科版）（解析版） 题型：解答题

    已知：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐

    标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．

    （1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

    （2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；

    （3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．

        

     

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    科目：初中数学 来源：2011年初中毕业升学考试（广西钦州卷）数学 题型：解答题

    （本题满分8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

        (1)如图①，当PA的长度等于 

    时，∠PAB＝60°；

                  当PA的长度等于    时，△PAD是等腰三角形；

        (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角

    坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐

    标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．

     

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