Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OB、OC，由垂径定理知E是BC的中点，而OE=BC，可判定△BOC是直角三角形，则∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠BAC的度数；
（2）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，联立①的结论可证得四边形AGHF是正方形；
（3）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长．
解答：（1）解：连接OB和OC；
∵OE⊥BC，∴BE=CE；
∵OE=BC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2分）

（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，（3分）
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AFHG是正方形；（5分）

（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．（7分）
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，∴（x-6）²+（x-4）²=10²；
解得，x₁=12，x₂=-2（不合题意，舍去）；
∴AD=12． （8分）
点评：此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．