Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE.
 
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=3cm，则BE=            cm；
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由.

Answer 1

（1）根据等腰直角三角形的性质可得CD=CE，由∠ACB=90°可得∠ACB=∠DCE，即可证得∠ACD=∠BCE，再结合AC=BC，即可证得结论；（2）6；（3）垂直

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得CD=CE，由∠ACB=90°可得∠ACB=∠DCE，即可证得∠ACD=∠BCE，再结合AC=BC，即可证得结论；
（2）先由勾股定理求得AB=3，再由DB=AB，可得AD的长，然后根据全等三角形的性质求解即可；
（3）根据全等三角形的性质及三角形的面积公式求解即可
解：（1）∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC
∴△ACD≌△BCE；
（2）∵AC=BC=3，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=3，
又∵DB=AB，
∴AD=2AB=6，
∵△ACD≌△BCE；
∴BE=AD=6cm；
（3）如图所示：

∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC
∵∠1=∠2，∠DCE=90°
∴∠DBE=∠DCE=90°
∴BE⊥AD.
点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.