【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,过点B作BD⊥AB,点C,D都在AB上方,AD交△BCD的外接圆⊙O于点E.
(1)求证:∠CAB=∠AEC.
(2)若BC=3.
①EC∥BD,求AE的长.
②若△BDC为直角三角形,求所有满足条件的BD的长.
(3)若BC=EC= ,则= .(直接写出结果即可)
【答案】(1)见解析;(2)①AE=,②BD= ;(3).
【解析】
(1)利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立;
(2)延长AC交BD于点F,利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可;
(3)利用勾股定理和相似三角形分别求出AE和BD的长,依据对应边等高三角形的面积比是对应边之比,进而求解;
证明:(1)∵四边形BCED内接于⊙O
∴∠AEC=∠DBC
又∵DB⊥AB
∴∠ABC+∠DBC=90°
又∵∠ACB=90°
∴在Rt△ABC中,∠CAB+∠ABC=90°
∴∠DBC=∠CAB
∴∠CAB=∠AEC
(2)①如图1延长AC交BD于点F,延长EC交AB于点G.
∵在Rt△ABC中,AB=5,BC=3
∴由勾股定理得,AC=4
又∵BC⊥AF,AB⊥BF
∠AFB=∠BFC
∴Rt△AFB∽Rt△BFC
∴
∴BC2=CFAC
即9=CF4,解得,CF=
又∵EC∥BD
∴CG⊥AB
∴ABCG=ACBC
即5CG=4×3,解得,CG=
又∵在Rt△ACG中,AG==
又∵EC∥DB
∴∠AEC=∠ADB
由(1)得,∠CAB=∠AEC
∴∠ADB=∠CAB
又∵∠ACB=∠DBA=90°
∴Rt△ABC∽Rt△DBA
∴
得AD=
又∵EG∥BD
∴
得AE=
②当△BDC是直角三角形时,如图二所示
∵∠BCD=
∴BD为⊙O直径
又∵∠ACB=90°
∴A、C、D三点共线
即BC⊥AD时垂足为C,此时C点与E点重合.
又∵∠DAB=∠BAC,∠ACB=ABD=90°
∴Rt△ACB∽Rt△ABD
∴
得AD=
又∵在Rt△ABD中,BD=
③如图三,由B、C、E都在⊙O上,且BC=CE=
∴
∴∠ADC=∠BDC
即DC平分∠ADB
过C作CM⊥BD,CN⊥AD,CH⊥AB垂足分别为M、N.,H.
∵在Rt△ACB中AB=5,BC=
∴AC=2
又∵在Rt△ACB中CH⊥AB
∴ABCH=ACBC
即5CH=2×
解得,CH=2
∴MB=2
又∵DC平分∠ADB
∴CM=CN
又∵在Rt△CHB中BC=5,CH=2
∴HB=1
∴CM=CN=1
又∵在△DCN与△DCM中
∴△DCN与△DCM(AAS)
∴DN=DM
设DN=DM=x
则BD=x+2,AD=x+
在Rt△ABD中由AB2+BD2=AD2得,
25+(x+2)2=(x+)2
解得,x=
∴BD=BM+MD=2+=
又由(1)得∠CAB=∠AEC,且∠ENC=∠ACB
∴△ENC∽△ACB
∴
∴NE=2
又∵在Rt△CAN中CN=1,AC=2
∴AN==
∴AE=AN+NE=+2
又∵S△BCD=BDCM,S△ACE=AECN,CM=CN
∴
故.
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【题目】如图,4张如图1的长为a,宽为b(a>b)长方形纸片,按图2的方式放置,阴影部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,若S2=2S1,则a,b满足( )
A. a=B. a=2bC. a=bD. a=3b
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【题目】如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连结AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求证:AD是⊙O的切线.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半径.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
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【题目】某区2014教师招聘有拉开序幕,这给很多有志于教育事业的人员很多机会.下面是今年报考人数统计表(数学)
招聘岗位 | 招聘计划 | 报考人数 | |||
高中教师1 | 研究生 | 高中 | 数学 | 10 | |
高中教师2 | 普通 | 高中 | 数学 | 19 | |
初中教师 | 普通 | 初中 | 数学 | 12 | 55 |
小学教师1 | 普通 | 城区与八镇 | 数学 | 18 | 83 |
小学教师2 | 普通 | 其他 | 数学 | 21 | 93 |
(1)根据上表信息,请制作补完下面的扇形统计图和上述表格.
(2)录取比例最小的是多少?最大的是多少?
(3)如果是你(本科毕业),仅从录取比例上看,你会选择报考哪个岗位?
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【题目】现有四张质地均匀,大小完全相同的卡片,在其正面分别标有数字﹣1,﹣2,2,3,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽出一张后,不放回,再从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于二象限内的A点和四象限内的B点,与x轴将于点C,连接AO,已知AO=2,tan∠AOC=,点B的坐标为(a,﹣4).
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】某校积极参与垃圾分类活动,以班级为单位收集可回收的垃圾,下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数表和频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).
某校七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数表
组别(kg) | 频数 |
4.0~4.5 | 2 |
4.5~5.0 | a |
5.0~5.5 | 3 |
5.5~6.0 | 1 |
(1)求a的值;
(2)已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收,该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元.
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