Question

14．解方程：$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$-$\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 先利用换元法变形，设$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$=t，则原方程转化为t-$\frac{1}{t}$=$\frac{5}{6}$，解此分式方程得到t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=-$\frac{2}{3}$，然后解方程$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$=$\frac{3}{2}$和$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$=-$\frac{2}{3}$，最后进行经检验确定原方程的解．

解答 解：方程变形为$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$-$\sqrt{\frac{x+2}{2x}}$=$\frac{5}{6}$，
设$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$=t，原方程转化为t-$\frac{1}{t}$=$\frac{5}{6}$，
化为整式方程得6t²-5t-6=0，解得t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=-$\frac{2}{3}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$=$\frac{3}{2}$，则$\frac{2x}{x+2}$=$\frac{9}{4}$，解得x=-18，
当t=-$\frac{2}{3}$时，$\sqrt{\frac{2x}{x+2}}$=-$\frac{2}{3}$，此方程没有实数解，舍去，
经检验，原方程的解为x=-18．

点评 本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．