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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=
2
m
x2-2x
与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.
(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);
(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
(1)∵y=
2
m
x2-2x=
2
m
(x2-mx+
1
4
m2)-
2
m
1
4
m2=
2
m
(x-
1
2
m)2-
1
2
m

∴抛物线的顶点B的坐标为(
1
2
m,-
1
2
m)


(2)令
2
m
x2-2x=0
,解得x1=0,x2=m.
∵抛物线y=
2
m
x2-2x
与x轴负半轴交于点A,
∴A(m,0),且m<0.
过点D作DF⊥x轴于F,如右图;
由D为BO中点,DFBC,可得CF=FO=
1
2
CO

∴DF=
1
2
BC

由抛物线的对称性得AC=OC.
∴AF:AO=3:4.
∵DFEO,
∴△AFD△AOE.
FD
OE
=
AF
AO

由E(0,2),B(
1
2
m,-
1
2
m)
,得OE=2,DF=-
1
4
m

-
1
4
m
2
=
3
4

∴m=-6.
∴抛物线的解析式为y=-
1
3
x2-2x


(3)依题意,得A(-6,0)、B(-3,3)、C(-3,0).可得直线OB的解析式为y=-x,直线BC为x=-3.
作点C关于直线BO的对称点C′(0,3),连接AC′交BO于M,则M即为所求.
由A(-6,0),C′(0,3),可得直线AC′的解析式为y=
1
2
x+3

y=
1
2
x+3
y=-x
解得
x=-2
y=2.

∴点M的坐标为(-2,2).
由点P在抛物线y=-
1
3
x2-2x
上,设P(t,-
1
3
t2-2t
).
(ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时.
①如右图,过M作MG⊥x轴于G,过P1作P1H⊥BC于H,
则xG=xM=-2,xH=xB=-3.
∵四边形AMP1Q1为平行四边形,
∴AM=P1Q1,∠P1Q1H=∠AKC,
∵BKMG,
∴∠AMG=∠AKC,
∴∠P1Q1H=∠AMG,
∠AGM=∠P1HQ1
∠AMG=∠P1Q1H
AM=P1Q1

∴△AMG≌△P1Q1H.
∴P1H=AG=4.
∴t-(-3)=4.
∴t=1.
P1(1,-
7
3
)

②如右图,同①方法可得P2H=AG=4.
∴-3-t=4.
∴t=-7.
P2(-7,-
7
3
)

(ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时,如右图;
过M作MH⊥BC于H,过P3作P3G⊥x轴于G,则xH=xB=-3,xG=xP3=t.
由四边形AP3MQ3为平行四边形,可证△AP3G≌△MQ3H.
可得AG=MH=1.
∴t-(-6)=1.
∴t=-5.
P3(-5,
5
3
)

综上,点P的坐标为P1(1,-
7
3
)
P2(-7,-
7
3
)
P3(-5,
5
3
)
练习册系列答案
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(1)求二次函数的解析式;
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1
2
x2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,BCx轴.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方),DE=
2
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13种植某数y6810121416161616161616
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(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出z与x之间满足的函数关系式;
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(3)今年1月份,该草莓种植基地加大规模,种植草莓比去年12月份多4亩,每亩收益比去年12月份多a%,今年2月份,该草莓种植基地继续加大规模,种植草莓比今年1月份多2a%,每亩收益比今年1月份多6元,若今年2月份该草莓种植基地总收益为672元,请你参考以下数据,通过计算估算出a的整数值.(参考数据:
63
=7.94,
65
=8.06,
66
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