【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似(不包括全等)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:由题意可知 .解得 .
∴抛物线的表达式为y=﹣
(2)解:将x=0代入抛物线表达式,得y=1.∴点M的坐标为(0,1).
设直线MA的表达式为y=kx+b,则 .
解得 .
∴直线MA的表达式为y= x+1.
设点D的坐标为( ),则点F的坐标为( ).
DF=
= .
当 时,DF的最大值为 .
此时 ,即点D的坐标为( )
(3)解:存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.设P(m, ).
在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限.
①设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3AN,
∴ ,即m2+11m+24=0.解得m=﹣3(舍去)或m=﹣8.又﹣3<m<0,故此时满足条件的点不存在.
②当点P在第三象限时,∵点P不可能在直线MA上,∴只能PN=3AN,
∴ ,即m2+11m+24=0.
解得m=﹣3或m=﹣8.此时点P的坐标为(﹣8,﹣15).
③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,则﹣3 ,即m2+m﹣6=0.
解得m=﹣3(舍去)或m=2.
当m=2时, .此时点P的坐标为(2,﹣ ).
若PN=3NA,则﹣ ,即m2﹣7m﹣30=0.
解得m=﹣3(舍去)或m=10,此时点P的坐标为(10,﹣39).
综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣8,﹣15)、(2,﹣ )、(10,﹣39).
【解析】(1)把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组 ,通过解该方程组即可求得系数的值;(2)由(1)中的抛物线解析式易求点M的坐标为(0,1).所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y= x+1.由题意设点D的坐标为( ),则点F的坐标为( ).易求DF= = .根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值;(3)需要对点P的位置进行分类讨论:点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况.此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答.
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【题目】今年学校举行足球联赛,在第一阶段的比赛中,每队都进行了8场比赛,小虎足球队胜了4场,平2场,负2场,得14分;小豹足球队胜了6场,平1场,负1场,得19分.已知,记分规则中,负1场得0分.
(1)求胜1场、平1场各得多少分?
(2)足球联赛结束后,小狮足球队共参加了17场比赛,得了24分,且踢平场数是所胜场数的正整数倍,请你想一想,小狮足球队所负场数有______种可能性.
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【题目】某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛,在选拔比赛中,每人射击10次,他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数/环 | 9.5 | 9.5 | 9.6 | 9.6 |
方差/环2 | 5.1 | 4.7 | 4.5 | 5.1 |
请你根据表中数据选一人参加比赛,最合适的人选是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线AB:交y轴于点A(0,1),交x轴于点B.直线x=1交AB于点D,交x轴于点E,P是直线x=1上一动点,且在点D的上方,设P(1,n).
(1)求直线AB的解析式和点B的坐标;
(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示);
(3)当S△ABP=2时,以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出点C的坐标.
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【题目】某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动,现从中随机抽取部分作品,按A,B,C,D四个等级进行评价,并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)求抽取了多少份作品;
(2)此次抽取的作品中等级为B的作品有 ,并补全条形统计图;
(3)若该校共征集到800份作品,请估计等级为A的作品约有多少份.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,AC=6,求⊙O的半径.
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【题目】阅读理(解析)
提出问题:如图1,在四边形ABCD中,P是AD边上任意一点,△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系?探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:
当AP=AD时(如图2):
∵AP=AD,△ABP和△ABD的高相等,
∴S△ABP=S△ABD,
∵PD=AD﹣AP=AD,△CDP和△CDA的高相等
∴S△CDP=S△CDA,
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA,
=S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)=S△DBC+S△ABC.
(1)当AP=AD时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式并证明;
(2)当AP=AD时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为: ;
(3)一般地,当AP=AD(n表示正整数)时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系为: ;
(4)当AP=AD(0≤≤1)时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为: .
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【题目】已知,点A,点B分别在线段MN,PQ上∠ACB﹣∠MAC=∠CBP
(1)如图1,求证:MN∥PQ;
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH,以点B为顶点的直角∠DBI绕点B旋转,并且∠DBI的两边分别与直线CH,AG交于点F和点E,如图2试判断∠CFB、∠BEG是之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN,并且∠ACB=60°,求∠CFB的度数.
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【题目】如图,点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形,AE,CD分别与BD,BE交于点F,G,连接FG,有如下结论:①AE=CD ②∠BFG= 60°;③EF=CG;④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中,正确的结论有__________________. (填序号)
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