Question

14．如图①，C地位于A，B两地之间，甲步行直接从C地前往B地；乙骑自行车由C地先回A地，再从A地前往B地（在A地停留时间忽略不计）．已知两人同时出发且速度不变，乙的速度是甲的2.5倍．设出发x min后甲、乙两人离C地的距离分别为y₁ m、y₂ m，图②中线段OM表示y₁与x的函数图象．

（1）甲的速度为80 m/min，乙的速度为200 m/min；
（2）在图②中画出y₂与x的函数图象；
（3）求甲乙两人相遇的时间；
（4）在上述过程中，甲乙两人相距的最远距离为960m．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象中点（30，2400），利用“速度=路程÷时间”可算出甲的速度，再根据甲乙速度间的关系可得出乙的速度；
（2）根据乙的速度，以及A、C两地及B、C两地间的距离，利用“时间=路程÷速度”可找出函数图象经过点（0，0）、（3，600）、（6，0）、（18，2400），按照顺序连接两点即可得出结论；
（3）设甲乙两人相遇的时间为xmin，结合（2）y₂与x的函数图象可知，乙相当于比甲晚出发6分钟，依照“路程=速度×时间”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（4）结合函数图象可知：最值只有可能出现在两种情况下，乙刚到A地时或乙到B地时，分别求出两种情形下两人间的距离，再作比较即可得出结论．

解答 解：（1）甲的速度为：2400÷30=80（m/min）；
乙的速度为：80×2.5=200（m/min）．
故答案为：80；200．

（2）∵600÷200=3（min），
600×2÷200=6（min）．
2400÷200+6=18（min）．
∴y₂与x的函数图象过点（0，0）、（3，600）、（6，0）、（18，2400）．
画出图形如图所示．


（3）设甲乙两人相遇的时间为xmin，
依题意得：80x=200（x-6），
解得：x=10．
答：甲乙两人相遇的时间为10min．

（4）∵乙的速度＞甲的速度，
∴当x=3时，乙达到A地，此时甲乙两人间距可能最远，
3×（80+200）=840（m）；
当x=18时，甲乙两人间距为：
2400-80×18=960（m）．
∵960＞840，
∴甲乙两人相距的最远距离为960m．
故答案为：960．

点评 本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系直接计算；（2）找出拐点坐标；（3）依照数量关系列出关于x的方程；（4）找出极值，再比较极值的大小，确定最值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．