Question

10．如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=4，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OC、OB，如图，先利用切线的性质得∠OBE=90°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=90°，则可判断四边形OBEC为矩形，所以∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到CE是⊙O的切线；
（2）先证明四边形OBEC为正方形得到BE=CE=OB=r，然后在Rt△CED中利用正切的定义得到$\frac{r}{4-r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后解方程求出r即可．

解答 （1）证明：连接OC、OB，如图，
∵MN是⊙O的切线，
∴OB⊥MN，
∴∠OBE=90°，
∵CE⊥MN，
∴∠CEB=90°，
∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC，
∴四边形OBEC为正方形，
∴BE=CE=OB=r，
∴DE=BD-BE=4-r，
在Rt△CED中，∵tanD=$\frac{CE}{DE}$=tan30°，
∴$\frac{r}{4-r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴r=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．