Question

若正整数a、b、c满足方程a²+b²=c²，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，
下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），
注意这五组“商高数”的结构有如下规律：

4=2×2×1 3=22-12 5=22+12

，

12=2×3×2 5=32-22 13=32+22

，

6=2×3×1 8=32-12 10=32+12

，

24=2×4×3 7=42-32 25=42+32

，

16=2×4×2 12=42-22 20=42+22

根据以上规律，回答以下问题：
（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？
（2）写出各数都大于30的两组商高数；
（3）用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据奇数和偶数的定义解答；
（2）根据a=2mn，b=m²-n²，c=m²+n²找出符合条件的两组数据；
（3）根据勾股定理证明这一组数据是商高数．

解答：解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数；

（2）（40，42，58），（119，120，169）；

（3）a=2mn，b=m²-n²，c=m²+n²
证明：a²+b²=（2mn）²+（m²-n²）²
=4m²n²+m⁴-2m²n²+n⁴
=m⁴+2m²n²+n⁴=（m²+n²）²
∴a²+b²=c²．

点评：此题是定义性题目，解答此题的关键是根据所给条件找出各数据之间的规律，即可解答．