Question

在矩形ABCD中，点E在直线AB上，连接DE，交对角线AC于点F，若AB=3，BC=4，BE=1，则FC的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：如图1、2，在图1中，首先求出AC的长度，然后证明△DFC∽△EFA，列出比例式即可解决问题；在图2中，类比上述解法，同理可求出线段CF的长．

解答：解：如图1，当点E在线段AB的延长线上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，且AB=3，BC=4，
∴AC²=3²+4²=25，
∴AC=5；设CF=x，
则AF=5-x；
∵DC∥AE，
∴△DFC∽△EFA，
∴

DC

AE

=

CF

AF

，
即

3

3+1

=

x

5-x

，
解得：x=

15

7

．
如图2，当点E在AB边上时，
AE=3-1=2，类比图1，
同理可得：

DC

AE

=

CF

AF

，
即

3

2

=

x

5-x

，
解得：x=3，
综上所述，FC的长为

15

7

或3．
故答案为

15

7

或3．

点评：该命题以矩形为载体，以考查矩形的性质、相似三角形的判定及其应用为线索构造而成；根据题意，运用分类讨论的数学思想，分两种情况来分析、判断、推理或解答．