Question

已知点I是锐角三角形ABC的内心，A₁，B₁，C₁分别是点I关于BC，CA，AB的对称点，若点B在△A₁B₁C₁的外接圆上，则∠ABC等于

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

C
分析：首先根据题目说明勾勒如图所示．通过图很容易知道IA₁=IB₁=IC₁=2r（r为△ABC的内切圆半径）．在Rt△IBD中，利用直角三角形性质，斜边是直角边的2倍，则该直角边所对的角为30°．即可知∠IBD=30°．同理，∠IBA=30°，于是∠ABC=60°．问题得解．
解答：解：∵IA₁=IB₁=IC₁=2r（r为△ABC的内切圆半径）
∴I点同时是△A₁B₁C₁的外接圆的圆心
设IA₁与BC的交点为D，则IB=IA₁=2ID
∴∠IBD=30°
同理，∠IBA=30°，于是∠ABC=60°
故选C．
点评：本题考查三角形的内切圆与内心、三角形外接圆与外心、直角三角形的性质．解决本题的关键是首先根据题意画出几何图形，再将求角大小转化为在直角三角形中求角的大小．