如图,矩形ABCD中, AB=4,BC=2,点P是射线DA上的一动点,DE⊥CP,垂足为E,EF⊥BE与射线DC交于点F.
(1)若点P在边DA上(与点D、点A不重合).
①求证:△DEF∽△CEB;
②设AP=x,DF=y,求与的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)当△EFC与△BEC面积之比为3︰16时,线段AP的长为多少?(直接写出答案,不必说明理由).
(1)①通过证明∠DPE=∠CDE,∠DEF=∠CEB得△DEF∽△CEB.②的取值范围为0<<2 (2)或或
【解析】
试题分析:(1)①证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠ECB=∠DPE,∠PDE+∠CDE=90°.
∵DE⊥CP,∴∠DEP=∠DEC =90°,∴∠PDE+∠DPE=90°,
∴∠DPE=∠CDE.
∵∠ECB=∠DPE,∴∠ECB=∠EDF
∵∠DEC =90°,∴∠DEF+∠FEC=90°.
∵EF⊥BE,∴∠CEB+∠FEC=90°,
∴∠DEF=∠CEB,
∴△DEF∽△CEB.
②解:∵△DEF∽△CEB,∴.
∵DF=y,BC=2,AP=x, AB=4,
∴,DP=,CD=4.
由∠PDC=90°,DE⊥CP,易证△DPC∽△EDC,
∴,∴,∴
的取值范围为0<<2.
(2)当△EFC与△BEC面积之比为3︰16时,根据题意解得
AP长为或或.
考点:矩形,相似三角形
点评:本题考查矩形,相似三角形,解答本题需要考生掌握矩形的性质,熟悉相似三角形的判定方法,会证明两个三角形相似
科目:初中数学 来源: 题型:
A、a≥
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B、a≥b | ||
C、a≥
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D、a≥2b |
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