【题目】在一次研究性学习活动中,同学们看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形的过程(如图所示):画线段AB,过点A任作一条直线l,以点A为圆心,以AB长为半径画弧,与直线l相交于两点C、D,连接BC和BD.则△BCD就是直角三角形.
(1)请你说明△BCD是直角三角形的道理;
(2)请利用上述方法作一个直角三角形,使其中一个锐角为60°(不写作法,保留作图
痕迹,在图中注明60°的角).
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)由作图可知,AB=AC=AD,根据等边对等角可得∠ACB=∠ABC,∠ABD=∠ADB ,然后利用三角形内角和定理可求出∠ABC+∠ABD=90° ,问题得证;
(2)如图所示,画线段EF,分别以点E,F为圆心,以EF的长为半径画弧,两弧相交于点C,连接EC;再以点C为圆心,以EC长为半径画弧,交EC延长线于点G,连接FG.则△EFG就是所求作的直角三角形,其中∠GEF=60°.
(1)由作图可知,AB=AC=AD,
∴∠ACB=∠ABC,∠ABD=∠ADB ,
∵∠ACB+∠ABC+∠ABD+∠ADB=180°,
∴2∠ABC+2∠ABD=180°,
∴∠ABC+∠ABD=90° ,即∠CBD=90°,
∴△BCD是直角三角形;
(2)如图所示:△EFG就是所求作的直角三角形,其中∠GEF=60°.
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【题目】大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.又例如:
∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为.
请解答:(1)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值;
(2)已知:,其中x是整数,且0<y<1.
求:①x、y的值;②x﹣y的相反数.
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【题目】规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,请写出图中两对“等角三角形”.
(2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°。求证:CD为△ABC的等角分割线.
(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割线,若△ACD是等腰三角形,请直接写出∠ACB的度数.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC上一点,且AE=BC,过点A作AD⊥CA,垂足为A,且AD=AC,AB、DE交于点F.试判断线段AB与DE的数量关系和位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,在中,于D,且,以AB为底边作等腰直角三角形ABE,连接ED、EC,延长CE交AD于点F,下列结论:①;②;③;④,其中正确的有( ).
A.①②B.①③C.①②③D.①②③④
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【题目】某校初二年级数学考试,(满分为100分,该班学生成绩均不低于50分)作了统计分析,绘制成如图频数分布直方图和频数、频率分布表,请你根据图表提供的信息,解答下列问题:
分组 | 49.5~59.5 | 59.5~69.5 | 69.5~79.5 | 79.5~89.5 | 89.5~100.5 | 合计 |
频数 | 2 | a | 20 | 16 | 4 | 50 |
频率 | 0.04 | 0.16 | 0.40 | 0.32 | b | 1 |
(1)频数、频率分布表中a= ,b= ;(答案直接填在题中横线上)
(2)补全频数分布直方图;
(3)若该校八年级共有600名学生,且各个班级学生成绩分布基本相同,请估计该校八年级上学期期末考试成绩低于70分的学生人数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,连接AD,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:∠B=∠DAC.
(2)求证:AC=EF.
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【题目】如图1,△ABC、△DCE均为等边三角形,当B、C、E三点在同一条直线上时,连接BD、AE交于点F,易证:△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论,让我们一起开启小明的探索之旅!
(探究一)如图2,当B、C、E三点不在同一条直线上时,小明发现∠BFE的大小没有发生变化,请你帮他求出∠BFE的度数.
(探究二)阅读材料:在平时的练习中,我们曾探究得到这样一个正确的结论:两个全等三角形的对应边上的高相等.例如:如图3,如果△ABC≌△A’B’C’,AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高,那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现:如图4,若连接CF,则CF平分∠BFE,请你帮他说明理由.
(探究三)在探究二的基础上,小明又进一步研究发现,线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系,请你写出它们之间的关系,并说明理由.
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