Question

（1）如图1，以等腰直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为______；
（2）如图2，以任意直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为______；
（3）如图3，以任意非直角△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，试判断DE与AM之间的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，请直接写出线段DE与AM之间的数量关系．

Answer 1

解：（1）由于△ABC、△ABE和△ACD都是全等的等腰直角三角形，所以AE=AB=AC=AD，且EC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故DE=BC=2AM．

（2）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAD=∠BAC=∠EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，
∴△EAD≌△BAC，
∴DE=BC；
而AM是Rt△ABC斜边上的中线，则DE=BC=2AM．

（3）DE=2AM；
理由如下：
延长BA至F，使得BA=AF；
则AM是△BCF的中位线，CF=2AM．
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠FAC=90°-∠DAF，
又∵AE=AF=AB，AD=AC，
∴△AED≌△AFC，得DE=CF，
故DE=2AM．

（4）DE=2AM，解法和（3）完全相同．
分析：（1）易知四边形BCDE是正方形，那么ED=BC，且△ABC是等腰直角三角形，由此可得ED=BC=2AM．
（2）解法与（1）类似，由于△ABE、△ACD都是等腰直角三角形，可证得Rt△ABC≌Rt△AED，则BC=DE，而AM是斜边BC上的中线，即可得到ED=BC=2AM．
（3）与（1）（2）的结论相同，仍然要用全等三角形来求解．延长BA到F，使得BA=AF，连接FC，易知AM是△BCF的中位线，即CF=2AM，因此只需证得ED=CF即可．由于∠EAF、∠CAD都是直角，减去同一个角∠DAF后，得到∠EAD=∠CAF，而AF=AE、CA=AD，由此可得△ADE≌△ACF，由此得证．
（4）思路和解法与（3）完全相同．
点评：此题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质，难度较大．