Question

（2012•石景山区二模）已知：直线y=

1

2

x+2分别与x轴、y轴交于点A、点B，点P（a，b）在直线AB上，点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y=

k

x

图象上．
（1）当a=1时，求反比例函数y=

k

x

的解析式；
（2）设直线AB与线段P′O的交点为C．当P′C=2CO时，求b的值；
（3）过点A作AD∥y轴交反比例函数图象于点D，若AD=

b

2

，求△P′DO的面积．

Answer 1

分析：（1）根据点P在直线AB上，a=1时，得出b的值，即可得出P点坐标，进而得出P′坐标，求出反比例函数解析式即可；
（2）连接PP′，证出△PP'C∽△OCA，利用P′C=2CO，得出PP′=2OA，进而求出A，B两点坐标得出a，b的值即可；
（3）分别根据当点P在第一象限时，以及当点P在第二象限时，求出D，P′坐标，求出△P′DO的面积即可．

解答：解：（1）如图1，∵点P在直线AB上，a=1时，b=

1

2

×1+2=

5

2

，
∴P（1，

5

2

），
∴P′（-1，

5

2

），代入y=

k

x

得k=-

5

2

，
∴y=-

5

2x

，

（2）如图1，连接PP′，
∵点P和点P'关于y轴对称
∴PP′∥x轴
∴△PP'C∽△AOC，
∴PP′：OA=P′C：CO，
∵P′C=2CO，
∴PP′=2OA
∵y=

1

2

x+2与x轴交于点A、与y轴交于点B，
∴A（-4，0），B（0，2）可得OA=4，
∴PP'=8，P和P’关于Y轴对称，
∴a=4，
∴b=

1

2

×4+2=4；

（3）如图2，当点P在第一象限时：
∵点P和点P'关于y轴对称且P（a，b），
∴P'（-a，b），
∵AD∥y，
∴D（-4，

b

2

），
∵点P'、点D在y=

k

x

上，
∴-4×

b

2

=-a×b，
∴a=2，
∴b=

1

2

×2+2=3，
∵D（-4，

3

2

），P'（-2，3）
∴S△P′DO=

9

2

，
如图3，当点P在第二象限时：D（-4，-

b

2

），
∴-4×（-

b

2

）=-a×b，
∴a=-2，
∴b=

1

2

×（-2）+2=1，
∵D（-4，-

1

2

），P'（2，1），
故直线DP′的解析式为；y=

1

4

x+

1

2

，
则OE=

1

2

，
S_△P′OD=S_△P′EO+S_△DEO=

1

2

×

1

2

×2+

1

2

×

1

2

×4=

3

2

．
综上：S_△P′OD=

9

2

或

3

2

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法等知识，根据数形结合，分类讨论得出P点位置是解题关键．